Доверительный интервал показывает. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы и этические проблемы

Из данной статьи вы узнаете:

Что такое доверительный интервал ?

В чем суть правила 3-х сигм ?

Как можно применить эти знания на практике?

В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.

Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.

Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:

1. По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
2. По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
3. По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.

По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:

1. По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
2. По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
3. По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.

Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .

С помощью доверительного интервала мы можем:

1. Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
2. Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
3. Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).

Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.

Что такое доверительный интервал?

Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.

Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.

Что такое заданная вероятность сигма?

При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:

3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.

2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.

1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.

Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .

Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

1. Прогноз продаж ().
2. Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
3. Три сигма.
4. Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .

3. Рассчитаем 3 сигма.

На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

1. Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
2. Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 - прогноз продаж;

W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Точных вам прогнозов и успехов!

Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:

Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;

Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;

В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :

• Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

где - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

где - результат i -го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Обновлено: 3 марта 2020 г.

Файл примера

Построим в MS EXCEL доверительный интервал для оценки среднего значения распределения в случае известного значения дисперсии.

Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Формулировка задачи

Предположим, что из генеральной совокупности имеющей взята выборка размера n. Предполагается, что стандартное отклонение этого распределения известно. Необходимо на основании этой выборки оценить неизвестное среднее значение распределения (μ, ) и построить соответствующий двухсторонний доверительный интервал .

Точечная оценка

Как известно из , статистика (обозначим ее Х ср ) является несмещенной оценкой среднего этой генеральной совокупности и имеет распределение N(μ;σ 2 /n).

Примечание : Что делать, если требуется построить доверительный интервал в случае распределения, которое не является нормальным? В этом случае на помощь приходит , которая гласит, что при достаточно большом размере выборки n из распределения не являющемся нормальным , выборочное распределение статистики Х ср будет приблизительно соответствовать нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).

Итак, точечная оценка среднего значения распределения у нас есть – это среднее значение выборки , т.е. Х ср . Теперь займемся доверительным интервалом.

Построение доверительного интервала

Обычно, зная распределение и его параметры, мы можем вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного нами интервала. Сейчас поступим наоборот: найдем интервал, в который случайная величина попадет с заданной вероятностью. Например, из свойств нормального распределения известно, что с вероятностью 95%, случайная величина, распределенная по нормальному закону , попадет в интервал примерно +/- 2 от среднего значения (см. статью про ). Этот интервал, послужит нам прототипом для доверительного интервала .

Теперь разберемся,знаем ли мы распределение , чтобы вычислить этот интервал? Для ответа на вопрос мы должны указать форму распределения и его параметры.

Форму распределения мы знаем – это нормальное распределение (напомним, что речь идет о выборочном распределении статистики Х ср ).

Параметр μ нам неизвестен (его как раз нужно оценить с помощью доверительного интервала ), но у нас есть его оценка Х ср, вычисленная на основе выборки, которую можно использовать.

Второй параметр – стандартное отклонение выборочного среднего будем считать известным , он равен σ/√n.

Т.к. мы не знаем μ, то будем строить интервал +/- 2 стандартных отклонения не от среднего значения , а от известной его оценки Х ср . Т.е. при расчете доверительного интервала мы НЕ будем считать, что Х ср попадет в интервал +/- 2 стандартных отклонения от μ с вероятностью 95%, а будем считать, что интервал +/- 2 стандартных отклонения от Х ср с вероятностью 95% накроет μ – среднее генеральной совокупности, из которого взята выборка . Эти два утверждения эквивалентны, но второе утверждение нам позволяет построить доверительный интервал .

Кроме того, уточним интервал: случайная величина, распределенная по нормальному закону , с вероятностью 95% попадает в интервал +/- 1,960 стандартных отклонений, а не+/- 2 стандартных отклонения . Это можно рассчитать с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2) , см. файл примера Лист Интервал .

Теперь мы можем сформулировать вероятностное утверждение, которое послужит нам для формирования доверительного интервала : «Вероятность того, что среднее генеральной совокупности находится от среднего выборки в пределах 1,960 « стандартных отклонений выборочного среднего» , равна 95%».

Значение вероятности, упомянутое в утверждении, имеет специальное название , который связан с уровнем значимости α (альфа) простым выражением уровень доверия = 1 -α . В нашем случае уровень значимости α =1-0,95=0,05 .

Теперь на основе этого вероятностного утверждения запишем выражение для вычисления доверительного интервала :

где Z α/2 – стандартного нормального распределения (такое значение случайной величины z , что P ( z >= Z α/2 )=α/2 ).

Примечание : Верхний α/2-квантиль определяет ширину доверительного интервала в стандартных отклонениях выборочного среднего. Верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения всегда больше 0, что очень удобно.

В нашем случае при α=0,05, верхний α/2-квантиль равен 1,960. Для других уровней значимости α (10%; 1%) верхний α/2-квантиль Z α/2 можно вычислить с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) или, если известен уровень доверия , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.доверия)/2) .

Обычно при построении доверительных интервалов для оценки среднего используют только верхний α /2- квантиль и не используют нижний α /2- квантиль . Это возможно потому, что стандартное нормальное распределение симметрично относительно оси х ( плотность его распределения симметрична относительно среднего, т.е. 0 ) . Поэтому, нет нужды вычислять нижний α/2-квантиль (его называют просто α /2-квантиль ), т.к. он равен верхнему α /2- квантилю со знаком минус.

Напомним, что, не смотря на форму распределения величины х, соответствующая случайная величина Х ср распределена приблизительно нормально N(μ;σ 2 /n) (см. статью про ). Следовательно, в общем случае, вышеуказанное выражение для доверительного интервала является лишь приближенным. Если величина х распределена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то выражение для доверительного интервала является точным.

Расчет доверительного интервала в MS EXCEL

Решим задачу. Время отклика электронного компонента на входной сигнал является важной характеристикой устройства. Инженер хочет построить доверительный интервал для среднего времени отклика при уровне доверия 95%. Из предыдущего опыта инженер знает, что стандартное отклонение время отклика составляет 8 мсек. Известно, что для оценки времени отклика инженер сделал 25 измерений, среднее значение составило 78 мсек.

Решение : Инженер хочет знать время отклика электронного устройства, но он понимает, что время отклика является не фиксированной, а случайной величиной, которая имеет свое распределение. Так что, лучшее, на что он может рассчитывать, это определить параметры и форму этого распределения.

К сожалению, из условия задачи форма распределения времени отклика нам не известна (оно не обязательно должно быть нормальным ). , этого распределения также неизвестно. Известно только его стандартное отклонение σ=8. Поэтому, пока мы не можем посчитать вероятности и построить доверительный интервал .

Однако, не смотря на то, что мы не знаем распределение времени отдельного отклика , мы знаем, что согласно ЦПТ , выборочное распределение среднего времени отклика является приблизительно нормальным (будем считать, что условия ЦПТ выполняются, т.к. размер выборки достаточно велик (n=25)) .

Более того, среднее этого распределения равно среднему значению распределения единичного отклика, т.е. μ. А стандартное отклонение этого распределения (σ/√n) можно вычислить по формуле =8/КОРЕНЬ(25) .

Также известно, что инженером была получена точечная оценка параметра μ равная 78 мсек (Х ср). Поэтому, теперь мы можем вычислять вероятности, т.к. нам известна форма распределения ( нормальное ) и его параметры (Х ср и σ/√n).

Инженер хочет знать математическое ожидание μ распределения времени отклика. Как было сказано выше, это μ равно математическому ожиданию выборочного распределения среднего времени отклика . Если мы воспользуемся нормальным распределением N(Х ср; σ/√n), то искомое μ будет находиться в интервале +/-2*σ/√n с вероятностью примерно 95%.

Уровень значимости равен 1-0,95=0,05.

Наконец, найдем левую и правую границу доверительного интервала . Левая граница: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25) = 74,864 Правая граница: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=81,136

Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25)) Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))

Ответ : доверительный интервал при уровне доверия 95% и σ =8 мсек равен 78+/-3,136 мсек.

В файле примера на листе Сигма известна создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала для произвольных выборок с заданным σ и уровнем значимости .

Функция ДОВЕРИТ.НОРМ()

Если значения выборки находятся в диапазоне B20:B79 , а уровень значимости равен 0,05; то формула MS EXCEL: =СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79)) вернет левую границу доверительного интервала .

Эту же границу можно вычислить с помощью формулы: =СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

Примечание : Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях MS EXCEL использовалась функция ДОВЕРИТ() .

Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.

Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.

Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.

С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.

На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.

Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:

хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - признак,

t - параметр из таблицы распределения Лапласа,

σ - квадратный корень дисперсии.

Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:

σ2 = х2ср - (хср)2, где

х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,

(хср)2 - квадрат данного признака.

Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

хср - выборочное среднее,

α - признак,

t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),

sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,

s - квадратный корень дисперсии.

Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.

Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:

хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.

Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.

Вероятности , признанные достаточным для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными .

Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999 (их принято выражать в процентах – 95%, 99%, 99,9%). Чем выше мера ответственности, тем более высокий уровень доверительной вероятности: 99% или 99,9%.

Доверительная вероятность 0,95 (95%) считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее арифметическое генеральной совокупности, называется доверительным интервалом .

Уровень значимости оценивания – малое число α, значение которого предполагает вероятность того, что выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с доверительными вероятностями: α 1 = (1- 0,95) = 0, 05; α 2 = (1 – 0,99) = 0, 01 и т.д.

Доверительный интервал для среднего (математического ожидания) a нормального распределения:

,

где - надежность (доверительная вероятность) оценивания; - выборочное среднее; s - исправленное среднеквадратическое отклонение; n – объем выборки; t γ - величина, определяемая по таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 1) при заданных n и γ.

Чтобы найти границы доверительного интервала среднего значения генеральной совокупности необходимо:

1. Вычислить и s.

2. Следует задасться доверительной вероятностью (надежностью) γ оценивания 0,95 (95 %) или уровнем значимости α 0,05 (5 %)

3. По таблице t – распределения Стьюдента (приложение, табл. 1) найти граничные значения t γ .

Так как t– распределение симметрично относительно нулевой точки, достаточно знать только положительное значение t. Например, если объем выборки n=16, то число степеней свободы (degrees of freedom, df ) t – распределения df =16 - 1=15 . По табл. 1 приложения t 0,05 = 2,13.

4. Находим границы доверительного интервала для α = 0,05 и n = 16:

Границы доверия:

При больших объемах выборки (n ≥ 30) t – распределение Стьюдента переходит в нормальное. Поэтому доверительный интервал для при n ≥ 30 можно записать следующим образом:

где u - процентивные точки нормированного нормального распределения .

Для стандартных доверительных вероятностей (95%, 99%; 99, 9%) и уровней значимости α значения (u ) приведены в таблице 8.

Таблица 8

Значения для стандартных доверительных уровней α

α	u
0,05	1,96
0,01	2,58
0,001	3,28

Опираясь на данные примера 1, определим границы 95 % - го доверительного интервала (α = 0,05) для среднего результата прыжка вверх с места. В нашем примере объем выборки n = 65, тогда для определения границ доверительного интервала можно использовать рекомендации для большого объема выборки.