Дельта динамическое хеджирование. Робот помощник “Хеджирование опционов для мульти стратегий” позволяет одновременно контролировать сразу несколько опционных стратегий на одном счету трейдера. Базовые принципы хеджирования

Трейдер может купить или продать базовый актив для того, чтобы захеджировать дельту опционной позиции. Сейчас мы более подробно разберем принцип хеджирования дельты, а также на примере покажем способ хеджирования гаммы.

Пример Допустим, что трейдер продал 500 колл опционов на акцию Enron. Спотовая цена базового актива = $500 Страйк колл опциона = $505 Время до экспирации = 1 год Процентная ставка = 4,25% Дивидендная доходность = 2,54%

Вмененная волатильность получена из цены опциона. Используя выше указанные значения, модель Блэка-Шоулза выдает стоимость колл опциона равную $36,60. Учитывая, что трейдер продает опционы на 500 акций, стоимость всех колл опционов составляет $18,300. Дельта колл опциона, полученная из модели Блэка-Шоулза, равна 0,552 или 55,2%. Следовательно:

Дельта позиции = –500 х 0,552 = –276 акций

Дельта позиции отрицательная, так как трейдер продал колл опционы; если цена акции вырастет, то цена опционов подорожает. С целью хеджирования дельты трейдер решает купить 276 акций. При небольших колебаниях цены акции Enron прибыль от опционной позиции будет сбалансирована потерями от позиции в акциях, и наоборот.

Большой скачок цены акции

Что произойдет, если цена акции существенно вырастет? Повышение цены акции на 10% приведет к удорожанию опциона до $68,44, согласно модели Блэка-Шоулза. Следовательно:

Доход от колл опционов = $18,300 – $34,220 = –$15,920

Доход от хеджа = 276 акций х $50 = $13,800

Чистый доход = $13,800 – $15,920 = –$2,120

Убыток трейдера составит $2,120 из-за влияния гаммы на стоимость и дельту колл опционов. Значение дельты опцинной позиции полезно исключительно при небольших отклонениях цены базового актива. Из примера видно, что короткая опционная позиция принесла более высокие убытки при росте цены акции на 10%, чем указывала дельта. Однако, дельта колл опциона после движения цены акции увеличилась до 74,5% из-за гаммы. Изначально дельта короткой опционной позиции составляла 55,2%. Увеличение цены акции на 10% предполагает следующий убыток:

Ожидаемый убыток при дельте 0,552 = – 500 х 0,552 х $50 = – $13,800

Однако, фактический убыток равен $15,920. Разногласие между фактическим и предполагаемым убытком составляет $2,120, что объясняется гаммой или конвекцией графика цена актива/цена опциона.

Дельта - Гамма балансировка

Иногда трейдеры производят небольшие корректировки дельты, чтобы дельта более точно соответствовала прогнозируемым изменениям стоимости опционной позиции при высоких колебаниях цены базового актива. Такие корректировки называются дельта-гамма балансировка. Гамма опциона колл в предыдущем примере примерно соответствует значению 0,0044. Влияние гаммы на доход от опционной позиции считается с помощью ряда Тейлора:

(50 2 /2) x 0,0044 = $5,5 за опцион

Это означает, что дополнительный убыток, полученный из-за гаммы, при росте цены акции на $50 составляет приблизительно $5,5. Для 500 опционов потери вырастут на $2750 при движении цены акции на $50. Дельта-гамма балансировка направлена на корректировку хеджа и принимает во внимание выпуклость графика цены опциона к цене базового актива.

Гамма хеджирование

Покупка или продажа базового актива поможет в управлении дельты опционной позиции, но не покрывает риска от гаммы. Стоимость опциона нелинейно связана с движением цены базового актива. В то время как фиксированное количество акций, купленных или проданных для хеджирования дельты, линейно реагируют на изменения цены актива. В предыдущем примере трейдер продал 500 опционов колл. Альтернативным методом хеджирования служит приобретение колл опционов на тот же актив, но с более близкой датой экспирации. Такие опционы будут иметь положительную дельту, а также положительную гамму.

Предположим, что трейдер в нашем примере решает захеджироваться с помощью опционов с близкой датой исполнения и покупает 9-ти месячные на-деньгах опционы колл со следующими параметрами:

Страйк = $500

Вмененная волатильность = 18%

Время до исполнения = 9 месяцев

При спотовой цене акции равной $500 стоимость опциона составляет $33,51 согласно модели Блэка-Шоулза. Дельта и гамма равны 0,5636 и 0,00505 соответственно. Гамма однолетнего опциона колл со страйком $505, который трейдер продал, равна 0,0044. Из этого следует, что трейдеру необходимо купить меньшее количество краткосрочных опционов со страйком $500 для нейтрализации гамма риска. Необходимое количество 9-ти месячных опционов со страйком $500 для покупки можно посчитать следующим образом:

500 x (0 ,00440/0,00505) = 435,64

Купив 436 опционов, мы сократим гамма риск, но дельта риск будет еще присутствовать. Дельта проданных опционов со страйком $505 равна минус 276 акций (– 500 х 0,552) , а дельта купленных опционов со страйком $500 составляет 246 акций (436 х 0,564) . Чтобы захеджировать оставшуюся дельту, трейдеру необходимо купить

276 – 246 = 30 акций.

Оставшиеся риски после гамма хеджа

Комбинация купленных 436 краткосрочных опционов и купленных 30 акций поможет эффективно снизить дельта и гамма риски от проданных 500 опционов колл, если колебания цены базового актива окажутся умеренными. Однако, такой двойной хедж не способен покрыть все возможные риски портфеля опционов. Например, останется вега риск. Вега проданных опционов равна 1,98, т.е. рост вмененной волатильности на 1% приведет к удорожанию опциона на $1,98, или на 500 х $1,98 = $990 от всех опционов. В то время как вега купленных опционов колл имеет значение 1,71 за один опцион, или 436 х 1,71 = $745,56 – вега всех купленных опционов. Следовательно, при росте вмененной волатильности на 1%, купленные опционы подорожают на $745,56. Таким образом, чистый убыток от увеличения волатильности на 1% составит

$745,56 –$990 = –$144,44

Опционная стратегия, позволяющая хеджировать риски, связанные с изменением стоимости базового актива, путем открытия компенсирующих позиций.

Например, дельта-хеджирование позиции колл в лонг может осуществляться путем продажи в шорт базовой акции. Данная стратегия основана на изменении суммы премии (цены опциона) вследствие изменения цены базового актива.

Дельта показывает, насколько теоретически должна измениться премия при изменении цены базового актива на один базисный пункт. Соотношение между этими движениями называется коэффициентом хеджирования. Если дельта = — 0.50, то можно ожидать, что при снижении цены базового актива на один доллар цена опциона пут вырастет на 50 центов. То же самое верно и для движения в противоположном направлении. Дельта опциона колл находится в пределах от 0 до 1, а дельта опциона пут — в пределах от минус 1 до 0. Например, цена опциона колл с коэффициентом хеджирования 0.40 увеличится на 40% от величины роста цены базовой акции.

В общем случае, опционы с высокими коэффициентами хеджирования выгоднее покупать, чем продавать.

Дельта-хеджирование с помощью опционов

Опционную позицию можно хеджировать с помощью опционов с дельтой, противоположной дельте текущей опционной позиции, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Дельта-нейтральной называется позиция, в которой суммарная дельта равна нулю, что сводит к минимуму колебания цен опционов относительно базового актива. Например, если у инвестора есть один опцион колл с дельтой, равной 0.50 (что говорит о том, что это опцион «при своих» (at-the-money)), и он хочет сохранить свою позицию дельта-нейтральной, то он может купить опцион пут «при своих» с дельтой, равной — 0.50, чтобы компенсировать положительную дельту. В результате, суммарная дельта позиции будет равна нулю.

Дельта-хеджирование с помощью акций

Дельта-хеджирование опционной позиции также можно производить с помощью самой базовой акции. Каждая базовая акция имеет дельту, равную 1, потому что изменение цены базового актива на $1 это и есть изменение цены акции на $1. Допустим, у инвестора есть один опцион колл в лонг на акцию, дельта которого равна 0.75 (или 75, так как для опционов множитель составляет 100). Такой инвестор может провести дельта-хеджирование опциона колл путем продажи в шорт 75 акций базового актива. И наоборот, если у инвестора есть один опцион пут в лонг на акцию, дельта которого равна −0.75, или −75, сделать позицию дельта-нейтральной можно, купив 75 акций базового актива.

Преимущества и недостатки дельта-хеджирования

Одним из главных недостатков дельта-хеджирования является необходимость постоянно следить за своими позициями и корректировать их. В зависимости от движения акции, трейдеру приходится часто покупать и продавать ценные бумаги, чтобы избежать недостаточного или чрезмерного хеджирования. Это может обходиться достаточно дорого, особенно в случае хеджирования опционами, поскольку они могут терять временную стоимость и иногда торговаться ниже уровня базовой акции. К тому же не надо забывать, что к сделкам, совершаемым с целью корректировки позиций, применяются комиссии. Дельта-хеджирование полезно применять инвесторам, которые хотят поймать сильное движение, так как оно защищает от мелких колебаний цены.

О дельта хеджировании проданных опционов January 7th, 2013

Угораздило меня заболеть во время празднования Нового Года. Так что сижу дома--тоска. Внезапно времени стало навалом, поэтому решил написать что-нибудь трейдерское в блог. Долго думал, что именно, решил про хеджирование опционов. Эта тема более или менее обеспечивает примирение двух взаимоисключающих концепций--наличие пользы от статьи для читателя и мое нежелание делиться такими полезными статьями.

Последний год-два-три характеризовались планомерным спаданием волатильности на рынках. Это привело к тому, что многие стратегии продажи опционов в среднем выигрывали за эти годы. В результате этого начала набирать популярность идея продажи опционов. Я иногда просматриваю смарт-лаб--там эта идея часто проскальзывает. А риски предполагается контролировать при помощи дельта хеджирования. Наконец, в эти праздники общался с очень даже успешным трейдером--он высказал мысль типа "если нет идей на рынке--продавай опционы". Я спросил, что делать, если против позиции пойдет--он ответил: нужно хеджировать по дельте. То есть концепция такова, что дельта хеджирование дает эдж само по себе. Эта концепция неправильна, и цель настоящей заметки--обратить на это внимание.

Рассмотрим вначале стратегию продажи голых опционов. Такая стратегия никакого преимущества не имеет. Дело в том, что в первом приближении рынок оценивает опционы так, чтобы в среднем и покупатель и продавец получали ноль. Иными словами, в первом приближении рынок эффективен--и рынок опционов--тоже. Кстати, именно на этом предположении основаны разнообразные теории ценообразования опционов--например, теория Блэка и Шоулса. Здесь следует отметить, что продажа опционов далеко от денег психологически очень комфортна--приятно иметь прибыль в подавляющем числе сделок. Но в среднем эта стратегия дает в лучшем случае ноль (а реально--убыточна, т.к. рынок опционов обычно недооценивает риски очень больших движений БА. На этом стратегии Талеба основаны--но у человека реально крепкие боллз). Поэтому продающий голые опционы OOM долгое время живет в мире иллюзий--после чего следует жесткое падение.

Итак, продажа голого опциона эджа не имеет. Но не имеет его и покупка/продажа базового актива в некоторый момент, связанный с ценой опциона! Фактически, это просто сделка с линейным инструментом (БА), произведенная в момент, определяемый ценой опциона и ценой БА. Такие сделки обычно эджа не имеют. Далее, любое хеджирование опциона--это просто сумма продажи голого опциона и неких сделок с БА. Если каждое слагаемое в сумме эджа не имет, то не будет иметь эджа и сумма. Это следует из того, что среднее суммы равно сумме средних.

Вот собственно и все. Никакого преимущества дельта хеджирование само по себе не дает. А чтобы получить преимущество, надо искать рыночные неэффективности--также, как и для линейных инструментов. Напоследок в качестве рождественского подарка некоторые полезные наблюдения, откуда можно взять эдж при продаже опционов:
1) При резких и быстрых движениях вниз рынок обычно становится трендовым. Это связано с тем, что лонгистов вышибает из рынка, а лонгистов--много. Это значит, что стратегия дельта хеджирования проданных путов имеет эдж просто потому, что эдж имеет трендовая стратегия на БА в такие моменты. В моменты похода опциона в деньги такая стратегия требует предельной концентрации.
2) На долгом бычьем рынке резкие задерги вверх маловероятны. Дело в том, что резкие задерги вверх--это обычно следствие шортокрыла. На бычьем рынке много шорта не накапливается--ибо стопы шортистов ставятся близко и рынок до них быстро доходит. Поэтому происходит плавная переработка бабла шортистов в бабло лонгистов и некому истерить вверх. Поэтому на бычьем рынке продажа коллов OOM имеет эдж. Поскольку хеджировать по дельте в данном случае бессмысленно (нет трендовости), а риск контролировать надо, то продавать надо не голый опцион, а спред.
3) Любые продажи опционов связаны с некислым отвлечением денег. На ФОРТС опцион OOM имеет ГО, сравнимое с ГО базового фьюча. Дельта хеджирование требует ГО, равное ГО базового фьюча. При этом при походе БА против позиции счет уменьшится еще до начала хеджирования за счет вариационной маржи. Хорошей оценкой необходимой для продажи опциона и последующего дельта-хеджирования суммы будет 1-2 ГО базового фьюча.

Означает на практике, что если рынок обратится против выпустившего ценные бумаги , то он должен двигаться в том же направлении, что и рынок и таким образом увеличить первоначальное изменение цены. Цены изменяются постоянно, но большого ущерба не возникает, за исключением того, что неустойчивость цен нарастает, что в свою очередь повышает спрос на производные ценные бумаги . Но если динамическое хеджирование производится в огромных масштабах в одном направлении, изменения цен могут быть стать резкими. Это расширяет масштаб финансового дисбаланса. Тот, кто должен воспользоваться динамическим хеджированием , но не может исполнить свои распоряжения, может понести катастрофические убытки.  

На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы динамического хеджирования , что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля . Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плюсом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Короткая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части портфеля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов , когда же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквивалентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимущество динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стратегию , это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг , в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючерсов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное управление портфелем . При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую стоимость портфеля, время до даты истечения , уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл-опциона , которая будет коэффициентом хеджирования , т.е. долей вашего счета, которую следует инвестировать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять остальные 54%, т.е. 27 контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь короткие позиции по 27 контрактам S P одновременно с длинной позицией по акциям. Так как необходимо постоянно перерассчитывать дельту и регулировать портфель, метод называется стратегией динамического хеджирования . Одна из проблем, связанная с использованием фьючерсов, состоит в том, что рынок фьючерсов в точности не следует за рынком спот . Кроме того, портфель, против которого вы продаете фьючерсы, может в точности не следовать за индексом рынка спот, лежащего в  

То, что прибыли и убытки менеджеров "В" и "С" одинаковы, не является совпадением, если смотреть на трех игроков с другой точки зрения . Можно предположить существование прямой связи между "Л1 и "С". Менеджер "А" имеет короткую позицию на один опцион, а менеджер "С" имеет длинную позицию на тот же самый опцион. Если бы "А" и "С" совместно управляли фондом, тогда конечным результатом явилось бы то же самое - уровень безубыточности. "А" и "С" имели бы равные и противоположные позиции на один и тот же инструмент, поэтому в итоге фонд был бы полностью нейтральным. Именно этого и пытается добиться менеджер "В". Он старается путем динамического рехеджирования полностью нейтрализовать прибыль или убытки короткой позиции по опциону колл . Менеджер "В" в динамике пытается получить нейтрализующую длинную позицию на опцион колл . Мы можем рассматривать портфель менеджера "В", как в сущности искусственную длинную позицию на опцион колл . Динамическое хеджирование короткого опциона колл в дельта-нейтральном портфеле с высокой степенью точности воспроизводит длинную позицию на опцион колл . И делается это только лишь с помощью акции. Мы видим, что совсем не обязательно наличие торгуемых на бирже опционов - их можно синтезировать путем динамического репродуцирования (dynami repli ation).  

Все хеджи, рассчитанные выше, используются для так называемого дельта-нейтрального (динамического) хеджирования. Они делают вашу позицию дельта-нейтральной ее P/L безразличен к незначительным колебаниям курса spot в любом направлении на уровне текущей цены базового актива. Если произойдет значительное изменение курса spot, вам придется пересчитать размер хеджа, чтобы получить дельта-нейтральную позицию. Подробнее мы обсудим эту тему после изучения параметра гамма.  

Традиционно увеличение премии при увеличении волатильнос-ти объясняют тем, что вероятность заработать на опционе возрастает с увеличением волатильности, т.к. чем выше волатильность, тем выше шанс, что опцион окажется при деньгах в дату истечения . При этом всегда возникает вопрос асимметрии если опцион при деньгах, увеличение волатильности увеличивает шанс потери внутренней стоимости Изучив в главе 17 динамическое хеджирование дельта-нейтральной опционной позиции , вы найдете более логичное объяснение того факта, что увеличение волатильности влечет за собой увеличение премии чем больше волатильность, тем больше владелец опциона зарабатывает на перехеджировании опциона.  

Дельту можно рассматривать в качестве коэффициента хеджиро­вания для страхования опционной позиции. Значение дельты говорит о числе единиц базисного актива, которые инвестор должен купить или продать на каждую позицию по опциону.

Зная величину дельты, инвестор может сформировать портфель из опционов и базисных активов, который будет нейтрален к риску в течение следующего короткого периода времени, поскольку изменение цены опциона бу-

дет компенсироваться аналогичным, но противоположным по знаку, изменением цены базисного актива. На каждый выписанный опцион колл инвестор должен купить количество единиц базисного актива равное значению дельты. На каждый длинный опцион колл ему сле­дует продать данное количество единиц актива. Покупая опцион пут, инвестор должен купить количество единиц базисного актива равное дельте, продавая опцион пут, - продать данное количество единиц актива.

Инвестор продал 100 опционов колл (один опцион на одну акцию) с дельтой 0,6. Общая дельта его позиции равна:

100(-0,б)= -60.

Знак минус говорит о том, что инвестор открыл короткую позицию по опционам. Для хеджирования опционной позиции он покупает акции в количестве равном общей дельте его позиции, т е. 60 акций.

Допустим, что в следующий момент цена акции снизилась на 1 рубль. Тогда по акциям инвестор теряет 60 руб. Однако цена опциона упала на 0,6 рубля, и общая стоимость опционов также уменьшилась на 60 руб. Таким образом проигрыш инвестора по акциям компенсируется выигрышем по опционам, поскольку в случае закрытия опционной пози­ции он выкупит контракты на 60 руб. дешевле.

Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 рубль. Тогда вкладчик выиграл 60 руб. по акциям, но проиграл данную сумму по опционам. Чтобы закрыть опционную позицию ему придется выку­пать опционы на 60 руб. дороже.

В примере инвестор купил 60 акций. Дельта акции равна едини­це, поскольку она определяется как отношение изменения цены ак­ции к нему же самому. Поэтому дельта позиции вкладчика по акциям составляет 60. В результате, общая дельта его портфеля из опцио­нов и акций равна нулю. Позицию с дельтой равной нулю называют дельта-нейтральной или дельта-хеджированной

На практике значение дельты постоянно меняется, поэтому пози­ция будет оставаться дельта-нейтральной только в течение относи­тельно короткого времени. Чтобы сохранять дельта-хеджированную позицию, вкладчик должен периодически пересматривать портфель, покупая или продавая базисные активы в зависимости от изменения величины дельты.

Вернемся к условиям примера 1. Допустим, что через некоторое время дельта опциона выросла на 0,01 пункта и составила 0,61 пунк­та. Это означает, что для сохранения дельта-нейтральной позиции необходимо приобрести дополнительное количество акций, чтобы компенсировать увеличение дельты на 0,01. Следует купить:

0,0Ы00 опционов- 1 акцию.

По мере приближения срока истечения опциона величина дельты убывает для опционов колл ОТМ и увеличивается для опционов ІТМ. Поэтому поддержание дельта-нейтральной позиции из опцио­нов ОТМ потребует уменьшения количества единиц базисного акти­ва при неизменном курсе, для опционов ІТМ- их увеличения.

Наиболее удобно рассматривать вопрос хеджирования, когда дельта опциона колл близка к единице или к нулю.

Если дельта близка или равна единице, то на каждый проданный опцион покупа­ется акция. Если дельта близка к нулю, то можно выписать непокры­тый опцион, так как цена опциона практически не чувствительна к изменению курса акции. Наибольшей корректировки для поддержа­ния дельта-нейтральной позиции требуют опционы ATM.

Дельту можно использовать для хеджирования позиции по ба­зисному активу с помощью опционов. Для этого необходимо оп­ределить количество опционных контрактов, которые следует открыть на каждую позицию по базисному активу, чтобы общая дельта позиции инвестора равнялась нулю. В результате, изме­нение стоимости базисного актива будет компенсироваться ана­логичным, но противоположным по знаку изменением стоимости опционов. Требуемое количество опционных контрактов можно найти, разделив дельту базисного актива (она равна единице) на дельту опциона:

Произведение дельты опциона на количество единиц базисного ак­тива в опционном контракте в знаменателе формулы (11.6) дает ве­личину дельты одного опционного контракта.

Инвестор страхует покупку 10000 акций с помощью опциона колл. Дельта для одной акции равна 0,25. Один опционный контракт включает 100 акций. Для хеджирования спотовой позиции ему следует продать:

По четыремстам контрактам его выигрыш составит:

25руб. ■ 400 = 10000руб.,

что компенсирует потери по акциям.

Дельта говорит о количестве единиц базисного актива, которые следует купить или продать хеджеру для поддержания дельта- нейтральной позиции. Поэтому дельту можно определить в единицах базисного актива. Такое представление дельты удобно для целей хеджирования. Если дельта опциона на акции равна 0,5, можно ска­зать, что она равна 0,5 акции.

Опционный контракт включает 100 акций. Тогда дельта 0,5 экви­валентна для контракта 50 акциям:

ЮОакций ■ 0,5 = 50акций.

Это означает, что на один проданный опционный контракт хеджеру следует купить 50 акций. Если в последующем цена акции упадет на 1 руб., то по 50 акциям на спотовом рынке инвестор потеряет:

50акций * 1 руб. = 56 руб.

Одновременно по опциону он выиграет согласно дельте, выражен­ной в акциях:

50акций ■ I руб. = 50руб., что компенсирует убыток по спотовой позиции.

На практике дельта обычно задается в процентах. Тогда дельта длинной позиции по базисному активу равна 100, короткой - минус 100. Дельта опциона 0,6 будет представлена как 60.

11.2. ГАММА

Дельта опциона не является постоянной величиной. Поэтому инве­стору важно знать, как изменится ее значение при изменении цены ба­зисного актива. С этой целью рассчитывают коэффициент чувствитель­ности опциона, получивший название гамма. Гамма показывает, в какой мере изменится значение дельты опциона при изменении цены базис­ного актива на один пункт. Гамма представляет собой отношение из­менения дельты опциона к изменению цены базисного актива:

Гамма - это вторая производная премии опциона по цене базисного актива. Графически гамма представляет собой кривизну графика дель­ты, т.е. показывает, насколько быстро меняется кривизна графика дель­ты при изменении цены опциона. Поэтому ее еще именуют кривизной опциона. Небольшое значение гаммы говорит о том, что дельта опцио­на изменится на малую величину при изменении цены базисного актива, и наоборот. Большое значение гаммы свидетельствует о высоком риске изменения цены опциона при изменении конъюнктуры рынка. Поэтому неопытному инвестору следует избегать опционов с большой гаммой. Гамма измеряется в дельтах на один пункт изменения цены базисного актива. Она является положительной величиной для длинных опционов

колл и пут. Для коротких опционов колл и пут она отрицательна. При повышении цены базисного актива значение гаммы прибавляется к зна­чению дельты, при падении цены - вычитается.

Дельта опциона колл равна 0,6, гамма - 0,02. Это означает, что для длинной позиции по опциону при повышении цены базисного актива на один пункт дельта вырастет на 0,02 пункта и составит 0,62 пункта. Напротив, при падении цены базисного актива на один пункт дельта опциона составит 0,58 пунктов. Если инвестор выписал опци­он, то дельта его опционной позиции равна минус 0,6, а гамма - ми­нус 0,02. При росте цены базисного актива новое значение дельты составит:

0,6+ (-0,02) = -0,62;

при падении:

0,6-(-0,02) =-0,58.

Зная величину гаммы, инвестор может поддерживать свою пози­цию дельта-нейтральной, покупая или продавая базисные активы в соответствии с гаммой опциона.

Инвестор сформировал дельта-нейтральную позицию, купив 60 ак­ций и продав 100 опционов колл с дельтой 0,6. Гамма опциона равна 0,02. В следующий момент цена акции выросла на 1 руб. и дельта оп­циона стала равной 0,62. Для поддержания дельта-нейтральной позиции инвестору необходимо купить дополнительно:

100опционов ■ 0,02 = 2акции.

Величина гаммы не является постоянной и изменяется с измене­нием рыночной конъюнктуры. Она достигает максимума для опцио­нов без выигрыша и уменьшается по мере того, как они становятся с большим выигрышем или проигрышем (см. рис. 11.4). Гамма зависит от времени до истечения опциона. Она является наименьшей для опционов, до истечения которых много времени. Когда опционы при­ближаются к их истечению, то для опционов А ТМ гамма сильно воз­растает, а для ОТМ и ІТМ - стремится к нулю. Для опционов А ТМ и близких к ним гамма начинает возрастать по экспоненте за 30-40
дней до окончания контрактов. Рост значения гаммы для опционов, которые скоро истекают, можно представить на основе следующего примера.

Опцион колл на акцию истекает через несколько минут. Цена ис­полнения 100 руб. Цена акции 99,8 руб. Поскольку это опцион ОТМ, его дельта равна нулю. Как только цена спот акции превысит 100 руб., пусть вырастет до 100,2 руб., его дельта сразу станет равной единице. Таким образом, при небольшом изменении цены акции наблюдается большое изменение дельты. Это говорит о том, что такой опцион имеет большую гамму.

Гамма зависит от волатильности. Для опционов ATM с ростом волатильности гамма уменьшается, а для опционов ОТМ-немного возрастает.

Знак гаммы имеет большое значение для понимания инвестором динамики своих выигрышей и проигрышей в связи с изменением конъ­юнктуры рынка. Если цена базисного актива идет в благоприятном на­правлении для держателя длинного опциона колл или пут, то он выиг­рывает деньги в возрастающем темпе, так как дельта за счет корректи­ровки ее на величину гаммы возрастает по абсолютной величине. Когда

цена идет в неблагоприятном направлении, инвестор теряет средства с уменьшающейся скоростью, так как дельта по абсолютной величине убывает. Для продавца опционов возникает обратная ситуация. Он вы­игрывает деньги с замедляющейся скоростью, когда цена базисного актива идет в благоприятном для него направлении, поскольку дельта по абсолютной величине уменьшается. Он теряет средства с ускорением при движении цены базисного актив в неблагоприятном направлении, так как дельта по абсолютной величине возрастает.

Для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, значение гаммы можно получить как вторую производную уравнений Блэка- Шоулза по S , или продифференцировав по S формулы для дельты опционов колл и пут:

Выше мы рассмотрели вопрос формирования дельта-неитрапьнои позиции. При изменении цены базисного актива необходимо пересмат­ривать состав портфеля, чтобы сохранить его дельта-нейтральность. Инвестору тем чаще придется пересматривать портфель, чем больше значение его гаммы (по абсолютной величине). Поэтому возникает зада­ча формирования гамма-нейтрального портфеля. Ее можно решить следующим образом. Допустим, инвестор имеет дельта-нейтральный портфель с гаммой ух. Он открывает позиции еще по п опционам.

Тогда гамма нового портфеля равна:

Чтобы получить гамма-нейтральныи портфель,

равно нулю:

На практике гамму также как и дельту обычно выражают в про­центах или в количестве дельт. Например, дельта опциона равна 60 и гамма 2 или 2 дельты.

Еще по теме Дельта-хеджирование:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право -